log 2 の近似 - tefu0818の日記

　本日三度目の投稿です。暇なので。

　唐突ですが $\log 2$ （以下底は自然対数とします）の値が必要になったことありませんか？？？僕は、ないです。が、中2のときに同級生にしたらほ〜〜んって言われた面白い話を書きます。

　 $\log (1+x)$ のマクローリン展開は有名ですね。 $\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots$ を積分する感じで

$\log (1+x)= x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\cdots$

　 $x=1$ を代入して（収束の話はググってください、最近ググれば全部わかるという噂をよく聞くし）

$\log 2= 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots$

この式自体、あるいはこの式の右辺の収束がまあそれは遅いということはよく知られています。

　もっと収束の速い式を作ってみましょう。先のマクローリン展開およびそこで $x$ を $-x$ に置き換えたものを並べると、

\begin{aligned}\log(1+x)&= x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\cdots\\ \log(1-x)&= -x-\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\cdots\end{aligned}

　辺々引き算して

\begin{aligned}\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)= 2\left(x+\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{5}}{5}+\cdots\right)\end{aligned}

　 $x=\dfrac{1}{3}$ を代入すると...

\begin{aligned}\log 2= 2\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3\cdot 3^{3}}+\dfrac{1}{5\cdot 3^{5}}+\cdots\right)\end{aligned}

　「...！！！この右辺の収束普通に早くない？え、ちょっと式いじっただけじゃん！？！？すごい！！！」という反応をしてください、ほ〜〜んとか言わないの。

　とにかく簡単な式変形で有意義なことができました。一般に

\begin{aligned}f:[0,1)\rightarrow [1,\infty), \ \ f(x)=\dfrac{1+x}{1-x}\end{aligned}

は全単射になるので，任意の $t\ge 1$ に対して， $x=f^{-1}(t)$ とすれば $0\le x\lt 1$

で、

\begin{aligned}\log t= 2\left(x+\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{5}}{5}+\cdots\right)\end{aligned}

と割と収束が早い感じに計算できます。