半角の公式の見方 - tefu0818の日記

　本日二度目の投稿です。暇なので。

　人から聞いた話ですが半角公式のへーって思った見方です。10年くらい知りませんでした。

　 $\cos$ の2倍角の公式

$\cos 2x = \cos^{2}x- \sin^{2}x$

において $x=\dfrac{\alpha}{2}$ とすれば

$\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}-\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2} = \cos \alpha$

　一方で自明な式として

$\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}+\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2} = 1$

があります。上の２式を足したり引いたりして2で割ってやれば

\begin{aligned}\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos \alpha}{2}\\ \sin^{2}\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos \alpha}{2} \end{aligned}

　半角の公式が導けました。