ヒルベルト行列の正定値性

　任意の $0$ でない多項式 $f(x)=a_{n}x^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \cdots +a_{2}x+a_1$ に対して，

\begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)^2 {\rm d} x \gt 0\end{aligned}

　ここまでは当たり前体操です。この左辺を変形すると

\begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)^2 {\rm d} x &= \int_{0}^{1} \left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i}a_{j} x^{i-1}x^{j-1} \right) {\rm d} x \\ &= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i}a_{j} \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, {\rm d} x \\ &= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \frac{a_{i}a_{j}}{i+j-1}\end{aligned}

　よって，以下のように第 $ij$ 成分が $\frac{1}{i+j-1}$ で与えられる $H$ を用意すれば，

\begin{aligned} H= \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \ddots & \vdots\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \frac{1}{2n-2}\\ \frac{1}{n} & \cdots & \cdots & \frac{1}{2n-2} & \frac{1}{2n-1} \end{pmatrix}\end{aligned}

任意の ${\boldsymbol a}=(a_1, a_2, \dots, a_n)^{{\rm T}} \neq {\boldsymbol 0}$ について，

\begin{aligned} {\boldsymbol a}^{{\rm T}} H {\boldsymbol a} \gt 0\end{aligned}

です。これで先のように定義した行列 $H$ は正定値であることが分かりました。実は $H$ には名前がついていてヒルベルト行列と言います。

　こっから先は真面目に計算はしていない妄想です。今回は $f(x)$ の表現の基底として $1,x,\dots,x^{n-1}$ をとったため， $H$ に対する二次形式が登場しました。同様の議論で $f(x)$ の表現の基底としてルジャンドル多項式(厳密には区間をアフィン変換したやつ)を持ってくれば対角行列に対する二次形式が登場することがわかります。つまり，それらの基底の変換行列を $S$ とおけば