とあるrank 等式の証明 - tefu0818の日記

　一般化逆行列の説明で $C$ が列フルランクだったら $C^{\rm T}C$ は正則みたいな話を見てほんまか？ってなったのでメモです。一般に任意の行列 $A$ について以下が成り立ちます。

\begin{aligned} {\rm rank}\ A^{\rm T}A = {\rm rank}\ A\end{aligned}

(証明)

\begin{aligned} Ax=0 &\Rightarrow A^{\rm T}Ax =0\end{aligned}

\begin{aligned} A^{\rm T}Ax =0 &\Rightarrow (Ax)^{\rm T}Ax=0\\&\Rightarrow Ax=0\end{aligned}

より， $\ker A^{\rm T}A = \ker A$ が従います。次元定理から ${\rm rank}\ A^{\rm T}A = {\rm rank}A$ も分かります。

　標準形とかでごちゃごちゃやってもできるかもしれないですがわりと綺麗に示せました。

　例えば行階数と列階数が等しいとか、自明っぽい話でもいざ証明しようとなると難しいものです。