微分で行列式を求める！

　ぼーっとしてたら思いついたことを書きます。次のような行列の行列式を求めよ、なんて問題はその辺の線形代数の教科書に載ってたりします。は対角成分が, 非対角成分が, サイズの行列です。

\begin{aligned} A_n= \begin{pmatrix}1 & 3 & 3 & \cdots & 3\\ 3 & 1 & 3 & \ddots & \vdots\\ 3 & 3 & 1 & \ddots & 3\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 3\\ 3 & \cdots & 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}\end{aligned}

　教科書に載ってるぐらいなので別に難しくありません。行・列基本変形を少し行うだけで簡単に求まります。が、気持ち悪い別解を思いついたので紹介しようという魂胆です。

　以下のようなについての関数を定義します。は定数だとしましょう。

\begin{aligned} f_{n}(x)= \begin{vmatrix}x & a & a & \cdots & a\\ a & x & a & \ddots & \vdots\\ a & a & x & \ddots & a\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a\\ a & \cdots & a & a & x \end{vmatrix}\end{aligned}

先のの行列式はのときのとして求まるのでの正体が分かってしまえば勝ちです。

さて、をどうやって求めましょうか...タイトルでネタバレしてるんですよね()。というわけで微分してみまーす。行列式の微分は各列を微分したときの行列式たちの和で書けます。

\begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}f_{n}(x)&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\begin{vmatrix}x & a & a & \cdots & a\\ a & x & a & \ddots & \vdots\\ a & a & x & \ddots & a\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a\\ a & \cdots & a & a & x \end{vmatrix}\\[8pt] &= \begin{vmatrix}1 & a & a & \cdots & a\\ 0 & x & a & \ddots & \vdots\\ 0 & a & x & \ddots & a\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a\\ 0 & \cdots & a & a & x \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}x & 0 & a & \cdots & a\\ a & 1 & a & \ddots & \vdots\\ a & 0 & x & \ddots & a\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a\\ a & \cdots & a & a & x \end{vmatrix}+\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots + \begin{vmatrix}x & a & a & \cdots & 0\\ a & x & a & \ddots & \vdots\\ a & a & x & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ a & \cdots & a & a & 1 \end{vmatrix}\\ &= n\begin{vmatrix}x & a & a & \cdots & a\\ a & x & a & \ddots & \vdots\\ a & a & x & \ddots & a\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a\\ a & \cdots & a & a & x \end{vmatrix} \ \ \ \ (\leftarrow \text{サイズは}n-1)\\[8pt] & = nf_{n-1}(x)\end{aligned}

　はい、長い旅でしたがこれでについての関係式が得られました。

\begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}f_{n}(x)= nf_{n-1}(x)\end{aligned}

とりあえずは順番に積分していけば求まりそうです。ただ積分定数よく分からんし〜〜〜ということでもう少し詰めていきましょう。一旦落ち着こうってやつです。

　まずはその定義からについての次式です。また全成分が等しい行列の行列式はなのでです。よって，はたちの線形結合で書けます。さらにのときは簡単に計算できて

\begin{aligned} f_2(x)&= \begin{vmatrix}x &a \\ a&x \end{vmatrix}\\&=x^2-a^2\\&=(x-a)^{2} + 2a(x-a)\end{aligned}

となります。以上の話をまとめると、

\begin{aligned} &・\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}f_{n}(x)= nf_{n-1}(x)\\ &・f_{2}(x)=(x-a)^{2} + 2a(x-a)\\&・ f_n(x) は (x-a)で割り切れる\end{aligned}

　ここまでくればを出すのは簡単です。実際、

\begin{aligned} f_{3}(x) &= 3\int f_{2}(x) \mathrm d x \\ &= 3\int \{(x-a)^{2} + 2a(x-a)\} \mathrm d x\\ &= (x-a)^{3} + 3a(x-a)^2\end{aligned}

\begin{aligned} f_{4}(x) &= 4\int f_{3}(x) \mathrm d x \\ &= 4\int \{(x-a)^{3} + 3a(x-a)^2\} \mathrm d x\\ &= (x-a)^{4} + 4a(x-a)^3 \\&\vdots \end{aligned}

と順番に求まり、一般に

\begin{aligned} f_{n}(x) = (x-a)^{n} + na(x-a)^{n-1}\end{aligned}

であることがわかります。よって、冒頭に出てきたについて、

\begin{aligned} \det A_n = (1-3)^{n} + 3n(1-3)^{n-1}=(3n-2)(-2)^{n-1}\end{aligned}

であることが分かりました。